問題講評【数学IIB】

〔１〕は、対数に関する問題。（１）は、底や真数に文字を含む対数関数のグラフの問題。ｋの値に対して、グラフの位置関係を判断することが必要であった。（２）は、対数を含む方程式・不等式の表す図形や領域について考察する問題。〔２〕は、３次以上の多項式を２次式で割ったときの余りが定数になる条件を考察する問題。（２）では、与えられた条件と同値な条件を導出する過程について考察する。（３）では、（２）の考察をもとに、具体的に係数の値や余りを求める。

２次関数ｙ＝ｆ(ｘ)と積分で表された関数ｙ＝Ｓ(ｘ)のグラフの関係を考察する問題。（１）は、ｍ＝２のときのＳ(ｘ)の極値を求める。（２）は、ｙ＝ｆ(ｘ)のグラフをもとにした面積S1とS2を考え、ｙ＝Ｓ(ｘ)のグラフの概形を選択肢から選ぶ。（３）は、２次関数ｙ＝ｆ(ｘ)のグラフの軸に関する対称性を利用して、誘導に従って、ｙ＝Ｓ(ｘ)上の指定された２点を結ぶ線分の中点を考察する。具体的な計算ではなく、文字を用いた数式などの抽象的な考察が続くため、取り組みにくかったであろう。

晴れか晴れ以外かで定義される確率変数Ｘについて、二項分布や正規分布を用いて考察する問題。（１）は、300週の日曜日から母平均を推定する問題。昨年に引き続き、母標準偏差の代わりに標本の標準偏差を用いて信頼区間を求める出題があった。（２）は、ちょうど３週続けて日曜日が晴れになる回数の期待値を求める確率の問題。解答数は昨年に比べて減少した。

３つの数列の漸化式に関する問題。（１）は等差数列、（２）は二項間漸化式から一般項を求める基本的な問題。（３）（ｉ）、（ii）は、具体的な値から数列の項を計算する問題で、条件式に順に当てはめていくとよい。（iii）は、数学的帰納法での証明の仕方を問う問題。（iv）は、計算は不要だが、（ｉ）、（ii）、（iii）の結果を参考に、数列の存在を考察する点が目新しい問題であった。

座標空間において点が直線上を動くとき、線分の長さが最小となる条件を考察する問題。（１）は、始点と終点の座標からベクトルの成分を求め、２直線の方向ベクトルの内積を求める問題。（２）は、原点Ｏと直線上の点Ｐとの距離が最小となる条件を、二人の対話から２通りの方法で考察する問題。誘導に従い、計算ミスに注意して解き進めればよい。（３）は、線分PQの長さが最小となるときの２点Ｐ、Ｑの座標を求める問題。２変数を用いて考察するが、（２）で提示された２通りの考え方のいずれかを利用して解き進めればよい。